Question

7．已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，点M，N分别是射线AE，AF上的点，且PM=PN．

（1）如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；
（2）在（1）的条件下，直接写出线段AM，AN与AC之间的数量关系AM+AN=2AC；
（3）如图2，当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1，且PC=4，求四边形ANPM的面积．

Answer 1

分析 （1）根据PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，利用HL判定Rt△PBM≌Rt△PCN，即可得出BM=CN；
（2）先已知条件得出AP平分∠CPB，再根据PB⊥AB，PC⊥AC，得到AB=AC，最后根据BM=CN，得出AM+AN=（AB-MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；
（3）由AC：PC=2：1，PC=4，即可求得AC的长，又由S_{四边形ANPM}=S_△APN+S_△APB+S_△PBM=S_△APN+S_△APB+S_△PCN=S_△APC+S_△APB，即可求得四边形ANPM的面积．

解答 解：（1）如图1，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=PN}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM=CN；

（2）AM+AN=2AC．
∵∠APB=90°-∠PAB，∠APC=90°-∠PAC，点P为∠EAF平分线上一点，
∴∠APC=∠APB，即AP平分∠CPB，
∵PB⊥AB，PC⊥AC，
∴AB=AC，
又∵BM=CN，
∴AM+AN=（AB-MB）+（CN+AC）=AB+AC=2AC；
故答案为：AM+AN=2AC．

（3）如图2，∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
∵在Rt△PBM和Rt△PCN中，PBM=∠PCN=90°，
$\left\{\begin{array}{l}{PM=PN}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM=CN，
∴S_△PBM=S_△PCN
∵AC：PC=2：1，PC=4，
∴AC=8，
∴由（2）可得，AB=AC=8，PB=PC=4，
∴S_{四边形ANPM}=S_△APN+S_△APB+S_△PBM
=S_△APN+S_△APB+S_△PCN
=S_△APC+S_△APB
=$\frac{1}{2}$AC•PC+$\frac{1}{2}$AB•PB
=$\frac{1}{2}$×8×4+$\frac{1}{2}$×8×4
=32．

点评 此题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．解决问题的关键是运用全等三角形的性质与转化思想，将四边形ANPM的面积转化为四边形ABPC的面积．