Question

5．如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；
（2）四边形PCBD是菱形；
（3）PO=AB；
（4）∠PDB=120°．
其中，正确的个数是（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$AB；
（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．

解答 解：（1）连接CO，DO，
∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CO=DO}\\{PO=PO}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD与⊙O相切，
故（1）正确；

（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{PC=PD}\\{∠CPB=∠DPB}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故（2）正确；

（3）连接AC，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CPO=∠CBP}\\{PC=BC}\\{∠PCO=∠BCA}\end{array}\right.$，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO=$\frac{1}{2}$PO=$\frac{1}{2}$AB，
∴PO=AB，
故（3）正确；

（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，
∴∠PDB=120°，
故（4）正确；
正确个数有4个，
故选A．

点评 此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．