Question

13．已知实数a，b，c满足（a-b）²+b²+c²-8b-10c+41=0．
（1）分别求a，b，c的值；
（2）若实数x，y，z满足$\frac{xy}{x+y}=-a$，$\frac{yz}{y+z}=\frac{c}{a}$，$\frac{zx}{z+x}=-\frac{c}{b}$，求$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值即可；
（2）把a，b，c的值代入已知等式求出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的值，原式变形后代入计算即可求出值．

解答 解：（1）已知等式整理得：（a-b）²+（b-4）²+（c-5）²=0，
∴a-b=0，b-4=0，c-5=0，
解得：a=b=4，c=5；
（2）把a=b=4，c=5代入已知等式得：$\frac{xy}{x+y}$=-4，即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=-$\frac{1}{4}$；$\frac{yz}{y+z}$=$\frac{5}{4}$，即$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=$\frac{4}{5}$；$\frac{zx}{z+x}$=-$\frac{5}{4}$，即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{z}$=-$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$=-$\frac{1}{8}$，
则原式=$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$=-8．

点评 此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及分式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．