题目内容
5．如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且$\sqrt{AB-4}$+|BC-6|=0，点P、Q分别是边AD、AB上的动点．（1）求BD的长；
（2）如图2，在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形？若能，请求出PA的长；若不能，请说明理由；
（3）如图3，在BC上取一点E，使EC=5，那么当△EPC为等腰三角形时，请直接写出PA的长．
分析 （1）由条件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的长；
（2）由题可知只能有∠QPC为直角，当PQ=PC时，可证得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的长；
（3）分PC=EC、PC=PE和PE=EC三种情况分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
解答 解：（1）如图1，连接BD，
∵$\sqrt{AB-4}$+|BC-6|=0，
∴AB=4，BC=6，
则在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=2$\sqrt{13}$；
（2）能，AP=4，
理由如下：
如图2，由图形可知∠PQC和∠PCQ不可能为直角，所以只有∠QPC=90°，
则∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，
∴∠QPA=∠PCD，
当PQ=PC时，
在Rt△APQ和Rt△DCP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QPA=∠PCD}\\{∠A=∠C}\\{PQ=PC}\end{array}\right.$
∴△APQ≌△DCP（AAS），
∴AP=CD=4，
故在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形，此时AP=4；
（3）当PC=EC=5时，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，
由勾股定理可得，PD=3，
∴AP=AB-PD=3，
当PC=PE=5时，如图3，
过P作PF⊥BC交BC于点F，则FC=EF=PD=$\frac{1}{2}$EC=2.5，
∴AP=AB-PD=6-2.5=3.5，
当PE=EC=5时，
如图4，
过E作EH⊥AD于点H，由可知AH=BE=1，
在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，
由勾股定理可得HP=3，
∴AP=AH+PH=1+3=4，
综上可知，当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长为3、3.5或4．
点评 此题是四边形综合题，主要考查矩形的性质及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质的综合应用，在（2）①中判断出只有PQ=PC一种情况、②中分三种情况进行讨论求解是解题的关键．
| A． | 2017 | B． | -2017 | C． | $\frac{1}{2017}$ | D． | -$\frac{1}{2017}$ |
如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=∠BAD=90°，BD、AC交于点F，且AF=AD，作DE⊥AC于点E．
已知直线l1：y=-$\frac{1}{2}$x-1分别与x、y轴交于点A、B．将直线l1平移后过点C（4，0）得到直线l2，l2交直线AD于点E，交y轴于点F，且EA=EC．
通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=$\frac{底边}{腰}=\frac{BC}{AB}$．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG=60°．沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）