Question

10．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=$\frac{底边}{腰}=\frac{BC}{AB}$．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°=1．
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
（3）如图②，Rt△ABC中，已知sinA=$\frac{3}{5}$，其中∠A为锐角，试求sadA的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）过B作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，根据余弦函数的定义设BD=3k，AB=5k，由勾股定理求出AD=4k，则DC=k，然后在Rt△BDC中，求出BC=$\sqrt{10}$k，最后根据正对的定义即可求解．

解答 解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°=$\frac{1}{1}$=1．
故答案为：1．

（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．

（3）如图，过B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，sinA=$\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$．
设BD=3k，AB=5k，则AD=4k，
∴DC=AC-AD=AB-AD=5k-4k=k．
在Rt△BDC中，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$k，
∴sadA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{10}k}{5k}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了新定义，三角函数，等腰三角形，三角形的高，理解新定义是解本题的关键．