Question

16．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=∠BAD=90°，BD、AC交于点F，且AF=AD，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBF=∠ABF；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求BC的长；
（3）求证：AE=CF．

Answer 1

分析 （1）根据三角形相似的判定方法，判断出Rt△CBF～Rt△ABD，即可推得∠CBF=∠ABF．
（2）设BC=x，根据AB-BC=4，AC=8，在Rt△ABC中，应用勾股定理，求出BC的长是多少即可．
（3）作FG⊥AB于点G，根据全等三角形的判定方法，判断出Rt△AFG≌Rt△DAE，即可推得AE=CF．

解答 （1）证明：∵AF=AD，
∴∠ADF=∠AFD，
∵∠AFD=∠BFC，
∴∠ADF=∠BFC，
在Rt△CBF和Rt△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BAD=90°}\\{∠BFC=∠BDA}\end{array}\right.$
∴Rt△CBF～Rt△ABD，
∴∠CBF=∠ABF．

（2）解：设BC=x，
∵AB-BC=4，
∴AB=x+4，
在Rt△ABC中，
∵AC=8，
∴（x+4）²-x²=64，
整理，可得
8x+16=64，
解得x=6，
∴BC的长是6．

（3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，，
∵∠CBF=∠ABF，
∴FG=CF，
∵∠FAG+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠FAG=∠ADE，
∵∠AFG=90°-∠FAG，∠DAE=90°-∠ADE，
∴∠AFG=∠DAE，
在Rt△AFG和Rt△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFG=∠DAE}\\{AF=AD}\\{∠FAG=∠ADE}\end{array}\right.$
∴Rt△AFG≌Rt△DAE，
∴AE=FG，
∵FG=CF，
∴AE=CF．

点评 此题还考查了全等三角形的判定与性质的应用，三角形相似的判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．