题目内容
13．在矩形ABCD中，BC=6，点E是AD边上一点，连接BE，∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P在线段ED运动，过点P作PQ∥BD交BE于点Q．（1）如图1，设PD=x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如图2，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G，求线段PG的长．
分析 （1）先过过点E作EM⊥QP垂足为M；在Rt△EQP中，易得∠EBD=∠EDB=30°；进而可得PE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PQ，且BE=DE．即可得出BE=PD+$\frac{\sqrt{3}}{3}$PQ，再面积公式可得y与x的关系；
（2）连接PC交BD于点N，可得∠QPC=90°，进而可得△PNG∽△QPC；可得$\frac{PG}{QC}=\frac{PN}{PQ}$；解可得PG的长．
解答 解：∵∠A=90°∠ABE=30°，
∴∠AEB=60°．
∵EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB=30°．
∵PQ∥BD，
∴∠EQP=∠EBD．
∠EPQ=∠EDB．
∴∠EPQ=∠EQP=30°，
∴EQ=EP．
过点E作EM⊥QP垂足为M．则PQ=2PM．
∵∠EPM=30°，
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PE，PE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PQ．
∵BE=DE=PD+PE，
∴BE=PD+$\frac{\sqrt{3}}{3}$PQ．
由题意知AE=$\frac{1}{2}$BE，
∴DE=BE=2AE．
∵AD=BC=6，
∴2AE=DE=BE=4．
∵当点P在线段ED上，
过点Q做QH⊥AD于点H，则QH=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}$x．
由（1）得PD=BE-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，PD=4-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∴y=$\frac{1}{2}$PD•QH=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$x2+x．
（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）．
∵点P是线段ED中点，
∴EP=PD=2，PQ=2$\sqrt{3}$．
∵DC=AB=AE•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴PC=$\sqrt{P{D}^{2}+D{C}^{2}}$=4．
∴cos∠DPC=$\frac{PD}{PC}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠DPC=60°．
∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°．
∵PQ∥BD，
∴∠PND=∠QPC=90°．
∴PN=$\frac{1}{2}$PD=1．
QC=$\sqrt{P{Q}^{2}+P{C}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC，
∴∠PGN=∠PCF．
∵∠PNG=∠QPC=90°，
∴△PNG∽△QPC，
∴$\frac{PG}{QC}=\frac{PN}{PQ}$，
∴PG=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$×$2\sqrt{7}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是得出BE=PD+$\frac{\sqrt{3}}{3}$PQ．
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