Question

17．定义：如果二次函数y₁=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁、b₁、c₁是常数）与y₂=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂、b₂、c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y=-x²+3x-2函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y=-x²+3x-2函数可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”；
（2）若函数y₁=x²-$\frac{4n}{3}$x+n与y₂=-x²+mx-3互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁶的值；
（3）已知函数y=2（x+1）（x-4）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁、B₁、C₁，请指出经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与y=2（x+1）（x-4）是否互为“旋转函数”．填是 （是或不是）．

Answer 1

分析 （1）根据“旋转函数”的定义求出a₂，b₂，c₂，从而得到原函数的“旋转函数”；
（2）根据“旋转函数”的定义得到-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，再解方程组求出m和n的值，然后根据乘方的意义计算；
（3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A（-1，0），B（4，0），C（0，-8），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，8），则可利用交点式求出经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=-2（x-1）（x+4）=-2x²-6x+8，再把y=2（x+1）（x-4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断

解答 （1）解：∵a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，
∴-1+a₂=0，b₂=3，-2+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，
∴函数y=-x²+3x-2的“旋转函数”为y=x²+3x+2；
（2）解：根据题意得-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，解得m=-4，n=3，
∴（m+n）²⁰¹⁶=（-4+3）²⁰¹⁶=1；
（3）解：当x=0时，y=2（x+1）（x-4）=-8，则C（0，-8），
当y=0时，2（x+1）（x-4）=0，解得x₁=-1，x₂=4，则A（-1，0），B（4，0），
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，8），
设经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=a₂（x-1）（x+4），把C₁（0，8）代入得a₂•（-1）•4=8，解得a₂=-2，
∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=-2（x-1）（x+4）=-2x²-6x+8，
而y=2（x+1）（x-4）=2x²-6x-8，
∴a₁+a₂=2+（-2）=0，b₁=b₂=-6，c₁+c₂=0，
∴经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与函数y=2（x+1）（x-4）互为“旋转函数”．
故答案为：是．

点评 此题是二次函数综合题，熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．解题的关键是抓住互为“旋转函数”的定义，利用函数各多项式前面的系数解决问题．