Question

15．如图所示，AB、AC是⊙O的切线，B、C是切点，∠BAC=70°，点P是⊙O上不同于B、C的任意一点，求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 连接OB、OC，如图，根据切线的性质得∠ABO=90°，∠ACO=90°，则根据四边形内角和得到∠AOB=180°-∠A=110°，然后分类讨论：当P在优弧BC上时，根据圆周角定理易得∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=55°，当P在劣弧BC上时，即P′点处，则利用圆内接四边形的性质易得∠BP′C=180°-∠BPC=125°．

解答 解：连接OB、OC，如图，
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠ABO=90°，∠ACO=90°，
∴∠AOB=180°-∠A=180°-70°=110°，
当P在优弧BC上时，∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=55°，
当P在劣弧BC上时，即P′点处，∠BP′C=180°-∠BPC=125°，
综上所述，∠BPC的度数为55°或125°．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．注意分类讨论思想的运用．