Question

7．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点．BF⊥AE．垂足为点F．设AB=a，BC=b，求BF的长．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到CD=AB=a，AD=BC=b，∠BAD=∠D=90°，求得DE=$\frac{1}{2}$a，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{4{b}^{2}+{a}^{2}}}{2}$，通过△ABF∽△AED，列比例式即可解得结果．

解答 解：在矩形ABCD中，∵CD=AB=a，AD=BC=b，∠BAD=∠D=90°，
∵E是边CD的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$a，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{4{b}^{2}+{a}^{2}}}{2}$，
∵BF⊥AE，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAE+∠AED=90°，
∴∠BAE=∠AED，
∴△ABF∽△AED，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BF}{AD}$，即$\frac{a}{\frac{\sqrt{4{b}^{2}+{a}^{2}}}{2}}$=$\frac{BF}{b}$，
∴BF=$\frac{2ab\sqrt{4{b}^{2}+{a}^{2}}}{4{b}^{2}+{a}^{2}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．