Question

10．已知：如图，正比例函数y₁=kx（k＞0）的图象与反比例函数y₂=$\frac{6}{x}$的图象相交于点A和点C，设点C的坐标为（2，n）．
（1）①求k与n的值；②试利用函数图象，直接写出不等式kx-$\frac{6}{x}$＜0的解集；
（2）点B是x轴上的一个动点，连结AB、BC，作点A关于直线BC的对称点Q，在点B的移动过程中，是否存在点B，使得四边形ABQC为菱形？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由点C的坐标为（2，n），在反比例函数y₂=$\frac{6}{x}$的图象上，可求得点C的坐标，又由点C在正比例函数y₁=kx（k＞0）的图象上，即可求得答案；
②直接利用图象，即可求得不等式kx-$\frac{6}{x}$＜0的解集；
（2）分别从点B在x轴的正半轴与点B在x轴的负半轴，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）①把点C的坐标为（2，n）代入${y_2}=\frac{6}{x}$，
解得：n=3
∴点C的坐标为（2，3），
把点C（2，3）代入y₁=kx得：3=2k，
解得：k=$\frac{3}{2}$；

②由两函数图象可知，kx-$\frac{6}{x}$＜0的解集是：x＜-2或0＜x＜2；

（2）如图1，当点B在x轴的正半轴且AB=AC时，四边形ABQC为菱形．
∵点A与点Q关于直线BC对称，
∴AC=QC，AB=QB，
∴AC=QC=AB=QB．
∴四边形ABQC为菱形．
由（1）中点C的坐标（2，3），
可求得：OC=$\sqrt{13}$，
∵点A与点C关于原点对称，
∴点A的坐标为（-2，-3），
∴OA=OC=$\sqrt{13}$，AC=2$\sqrt{13}$，
∴AC=AB=2$\sqrt{13}$．
作AH⊥x轴于点H，则AH=3．
在Rt△AHB中，由勾股定理得：BH=$\sqrt{（{2\sqrt{13}）}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{43}$，
又∵OH=2，
∴OB=BH-OH=$\sqrt{42}$-2，
∴点B的坐标为$（{\sqrt{43}-2，\;0}）$，
如图2，当点B在x轴的负半轴且AB=AC时，四边形ABQC为菱形．作AT⊥x轴于点T，
同理可求得：$BT=\sqrt{{{（{2\sqrt{13}}）}^2}-{3^2}}=\sqrt{43}$，
又∵OT=2，
∴$OB=BT+OT=\sqrt{43}+2$，
∴点B的坐标为$（{-\sqrt{43}-2，\;0}）$，
综上，当点B的坐标为$（{\sqrt{43}-2，\;0}）$或$（{-\sqrt{43}-2，\;0}）$时，四边形ABQC为菱形．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、反比例函数与一次函数的交点问题以及菱形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．