Question

20．如图，已知直线y=kx+b与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0），动点 C从原点O出发沿OA方向以每秒1个单位长度向点A运动，动点D从点B出发沿BO方向以每秒1个单位长度向点O运动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动，设运动时间为t 秒．
（1）直接写出直线的解析式：y=-x+8；
（2）若E点的坐标为（-2，0），当△OCE的面积为5 时．
①求t的值；
②探索：在y轴上是否存在点P，使△PCD的面积等于△CED的面积？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）①根据运动的规律，找出点C的坐标，根据△OCE的面积为5利用三角形的面积公式即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；
②假设存在，设点P的坐标为（0，m），结合①结论找出点C、D的坐标，根据三角形面积相等结合三角形的面积公式即可得出关于m的含绝对值的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{8=b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴该直线的解析式为y=-x+8．
故答案为：y=-x+8．
（2）①由已知得：点C（0，t）（0≤t≤8），点E（-2，0），
∴OC=t，OE=2．
∵S_△OCE=$\frac{1}{2}$OE•OC=$\frac{1}{2}$×2t=5，
∴t=5．
②假设存在，设点P的坐标为（0，m），如图所示．
由①可知t=5，此时点C（0，5），点D（3，0），
∴OC=5，DE=5，OD=3．
S_△DCE=$\frac{1}{2}$OC•DE=$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$，S_△DCP=$\frac{1}{2}$OD•PC=$\frac{1}{2}$×3×|m-5|．
∵S_△DCE=S_△DCP，
∴$\frac{25}{2}$=$\frac{1}{2}$×3×|m-5|，即3|m-5|=25，
解得：m=-$\frac{10}{3}$或$\frac{40}{3}$．
故当△OCE的面积为5时，在y 轴存在点P，使△PCD的面积等于△CED的面积，点P的坐标为（0，-$\frac{10}{3}$）或（0，$\frac{40}{3}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）①得出关于t的一元一次方程；②得出关于m的方程3|m-5|=25．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形面积间的关系结合三角形的面积公式找出方程是关键．