Question

12．已知关于x的方程x²-kx+k-1=0．
（1）求证：不论k为何值，方程总有两个实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）先计算△，化简得到△=（k-2）²，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x₁=k-1，x₂=1，则可设b=k-1，c=2，然后讨论：当2为腰；当1为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．

解答 （1）证明：△=k²-4×1×（k-1）
=k²-4k+4
=（k-2）²，
∵无论k取什么实数值，（k-2）²≥0，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；

（2）解：∵x=$\frac{k±（k-2）}{2}$，
∴x₁=k-1，x₂=1，
∵两边恰好是这个方程的两个实数根，
当2为腰，则k-1=2，解得k=3，此时三角形的周长=2+2+1=5；
当1为腰时，k-1=1，k=2，此时1+1=2，故此种情况不存在．
综上所述，△ABC的周长为5．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．