Question

5．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B、C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，若反比例函数$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的图象经过点B、D，且$\frac{AO}{BC}=\frac{3}{2}$．
（1）求：k及点D坐标；
（2）将△AOD沿着OD折叠，设顶点A的对称点A₁的坐标是A₁（m，n），求：代数式m+3n的值．

Answer 1

分析 （1）先根据AO：BC=3：2，BC=2得出OA的长，再根据点B、C的横坐标都是3可知BC∥AO，故可得出B点坐标，再根据点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上可求出k的值，由AC∥x轴可设点D（t，3）代入反比例函数的解析式即可得出t的值，进而得出D点坐标；
（2）过点A₁作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OAA₁，根据AC∥x轴可知∠A₁ED=∠A₁FO=90°，由相似三角形的判定定理得出△DEA₁∽△A₁FO，设A₁（m，n），可得出$\frac{m}{n}$=$\frac{3-n}{m-1}$，再根据勾股定理可得出m²+n²=9，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AO：BC=3：2，BC=2，
∴OA=3，
∵点B、C的横坐标都是3，
∴BC∥AO，
∴B（3，1），
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴1=$\frac{k}{3}$，解得k=3，
∵AC∥x轴，
∴设点D（t，3），
∴3t=3，解得t=1，
∴D（1，3）；

（2）过点A₁作EF∥OA交AC于E，交x轴于F，连接OA₁，
∵AC∥x轴，
∴∠A₁ED=∠A₁FO=90°，
∵∠OA₁D=90°，
∴∠A₁DE=∠OA₁F，
∴△DEA₁∽△A₁FO，
∵A₁（m，n），
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{3-n}{m-1}$，
∴m²+n²=m+3n，
∵m²+n²=OA₁²=OA²=9，
∴m+3n=9．

点评 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，翻折的性质，勾股定理、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度适中．