Question

11．已知直线y=（1-k₁）x+2和双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$交于A，B两点，其中A点的坐标为（2，4），求：
（1）k₁和k₂的值，及B点的坐标，并画出函数图象；
（2）求S_△AOB的值．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标利用待定系数法即可求出k₁和k₂的值，从而得出直线与双曲线的解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B的坐标；
（2）令直线AB解析式中x=0可得出点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求出S_△AOB的值．

解答 解：（1）将A（2，4）代入y=（1-k₁）x+2中，
4=2（1-k₁）+2，解得：k₁=0
∴直线的解析式为y=x+2；
将A（2，4）代入y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中，
4=$\frac{{k}_{2}}{2}$，解得：k₂=8，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{8}{x}$．
联立直线与双曲线解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{8}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（-4，-2）．
画出函数图象，如图所示．
（2）令x=0，则y=x+2=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×2×[2-（-4）]=6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积，根据点A的坐标利用待定系数法求出k₁和k₂的值是解题的关键．