Question

13．已知，正六边形ABCDEF在直角坐标系内的位置如图所示，点A的坐标为A（-1，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2016次翻转之后，点B的经过的路径长是（2016$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2016除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转前进的距离，过点C作CG⊥x于G，求出∠CBG=60°，然后求出CG、BG，再求出OG，然后写出点C的坐标即可．

解答 解：∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，
∴每6次翻转为一个循环组循环，
∵2016÷6=336，
∴经过2016次翻转为第336循环，点C在开始时的位置，
∵A（-1，0），
∴AB=1，
∴翻转前进的距离=1×2016=2016，
如图，过点C作CG⊥x于G，则∠CBG=60°，
∴OG=1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，CG=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OG=2016+$\frac{1}{2}$=2016$\frac{1}{2}$，
∴点B的坐标为（2016$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为（2016$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查的是正多边形和圆，涉及到坐标与图形变化-旋转，正六边形的性质，确定出最后点C所在的位置是解题的关键，难点在于作辅助线构造出直角三角形．