Question

14．我们知道配方和因式分解是多项式变形的两种重要方法，多项式通过配方，然后利用完全平方式的非负性进行求解判断；通过因式分解，多项式转化为因式的乘积形式，从而可以像有理数乘法那样来进行积的正负性判断．
思考、解决下列问题：
（1）已知x为任何实数，
①试说明多项式x²-4x+5的值一定大于零；
②试求分式$\frac{5{x}^{2}-20x+27}{{x}^{2}-4x+5}$的最大值．
（2）已知x＞2，M=5x²+3，N=4x（x+1），试比较M，N的大小．

Answer 1

分析 （1）①根据配方法可以说明多项式x²-4x+5的值一定大于零；
②根据配方法和①中的结论可以求得分式$\frac{5{x}^{2}-20x+27}{{x}^{2}-4x+5}$的最大值；
（2）根据题意可以求得M-N的差，然后分段进行讨论，即可解答本题．

解答 解：（1）①∵x²-4x+5=（x-2）²+1≥1＞0，
∴多项式x²-4x+5的值一定大于零；
②$\frac{5{x}^{2}-20x+27}{{x}^{2}-4x+5}$=$\frac{5（{x}^{2}-4x+5）+2}{{x}^{2}-4x+5}$=5+$\frac{2}{{x}^{2}-4x+5}$，
由①知，当x=2时，x²-4x+5取得最小值1，
∴5+$\frac{2}{{x}^{2}-4x+5}$≤5+$\frac{2}{1}$=7，
∴分式$\frac{5{x}^{2}-20x+27}{{x}^{2}-4x+5}$的最大值是7；
（2）∵x＞2，M=5x²+3，N=4x（x+1），
∴M-N=（5x²+3）-4x（x+1）=5x²+3-4x²-4x=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∴当2＜x＜3时，M-N=（x-1）（x-3）＜0，则M＜N，
当x=3时，M-N=（x-1）（x-3）=0，则M=N，
当x＞3时，M-N=（x-1）（x-3）＞0，则M＞N．

点评 本题考查配方法的应用、非负数的性质、完全平方式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用配方法解答问题．