Question

6．如图，已知矩形ABCD中，E是边BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在点F处，连接AF并延长交边BC的延长线于点G，连接FC，若sin∠FCE=$\frac{4}{5}$，CG=3，求FC的长．

Answer 1

分析 由E是边BC的中点，得到BE=CE，根据折叠的性质得到BE=EF，∠1=$\frac{1}{2}∠$BAF，得到BE=EF=CE，根据矩形的性质得到∠B=90°，根据余角的性质得到∠BAG=∠FEG=90°，过E作EH⊥CF于H，推出∠AEB=∠ECF，根据平行线的判定定理得到AE∥CF，设AB=4k，AE=5k，勾股定理得到BE=3k，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵E是边BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，
∴BE=EF，∠1=$\frac{1}{2}∠$BAF，
∴BE=EF=CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴∠AFE=∠EFG=90°，
∴∠BAG+∠G=∠FEG+∠G=90°，
∴∠BAG=∠FEG=90°，
过E作EH⊥CF于H，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠CEF，
∴∠1=∠2，
∴∠AEB=∠ECF，
∴AE∥CF，
∵sin∠FCE=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠AEB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∴设AB=4k，AE=5k，
∴BE=3k，
∴EF=CE=3k，
∵∠B=∠CHE=90°，∠1=∠2，
∴△ABE∽△EHC，
∴∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BE}{CH}$，
∴CH=$\frac{9}{5}$k，
∴CF=2CH=$\frac{18}{5}$k，
∵AE∥CF，
∴△CFG∽△EAG，
∴$\frac{CF}{AE}$=$\frac{CG}{EG}$，
即$\frac{\frac{18}{5}k}{5k}$=$\frac{3}{3+3k}$，
∴k=$\frac{7}{18}$，
∴CF=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．