Question

5．如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于D．若AB=6cm，AC=4cm，则AD的长为$\frac{12\sqrt{3}}{5}$cm．

Answer 1

分析 作辅助线，构建平行线和垂线，先根据外角定理和角平分线性质得：∠BAD=∠N，由等角对等边得：BN=AB=6，由三角函数求AE的长，根据等腰三角形三线合一得AN的长，证明△BND∽△CAD，根据线段的长设未知数列等式可得结论．

解答 解：过B作BM∥AC，交AD的延长线于点N，作BE⊥AN于E，
∵BM∥AC，
∴∠MBA=∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠N=∠MBA-∠BAD=60°-30°=30°
∴∠BAD=∠N，
∴BN=AB=6，
在Rt△ABE中，
AE=AB•cos∠BAD=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AN=2AE=6$\sqrt{3}$，
∵BM∥AC，
∴△BND∽△CAD，
∴$\frac{AD}{DN}=\frac{AC}{BN}$=$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
设AD=2x，则DN=3x，
而AD+DN=AN，
∴2x+3x=6$\sqrt{3}$，
x=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
∴AD=$\frac{12\sqrt{3}}{5}$cm．
故答案为：$\frac{12\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，把求线段的长的问题转化为求三角形相似的问题解决，正确作出辅助线是解题的关键．