Question

15．如图所示，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使CD=CE，过点E作EF⊥AC交AD于点F，求证：AE=EF=DF．

Answer 1

分析 连接CF，求证△CEF≌△CDF，可以求证EF=DF．进一步求证△AEF为等腰直角三角形，得出EF=AE，即可证得结论．

解答 证明：如图，

连接CF，
在Rt△CEF和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴Rt△CEF≌Rt△CDF，
∴EF=DF；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD=45°，
在Rt△AEF中，
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=45°，
∴∠EAF=∠AEF，
∴AE=EF，
∴AE=EF=DF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接CF，并且求证Rt△CEF≌Rt△CDF是解本题的关键．