Question

17．对于任意大于或等于4的偶数，存在下列勾股数：

组别	a	b	c
第1组	4=2×2	3=22-1	5=22+1
第2组	6=2×3	8=32-1	10=32+1
第3组	8=2×4	15=42-1	17=42+1

（1）根据以上规律，请你直接写出第7组勾股数：
（2）请你猜想出第n组（n为正整数），并证明这是一组勾股数．

Answer 1

分析 （1）根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：（n+1）²-1，第三个数是：（n+1）²+1．根据这个规律即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求解．

解答 （1）解：观察前3组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：（n+1）²-1；第三个数是：（n+1）²+1．
所以第7组勾股数是16，63，65．
（2）第n组是第一个数是2（n+1）；第二个是：（n+1）²-1；第三个数是：（n+1）²+1．
证明：∵[2（n+1）]²+[（n+1）²-1]²
=4（n+1）²+（n+1）⁴-2（n+1）²+1
=（n+1）⁴+2（n+1）²+1
=[（n+1）²+1]²，
故这是一组勾股数．

点评 此题考查了勾股数，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．