Question

9．已知直线L：y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一个点C（0，4），动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求△COM的面积S与点M移动的时间t之间的函数关系式．
（3）当t=6时，
①求直线CM所对应的解析式．
②问直线CM与直线L有怎样的位置关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据速度乘以时间等于路程，可得AM的长，根据线段的和差，可得OM的长，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）①求出点M的坐标，利用待定系数法即可解决问题．②直线CM与直线L互相垂直．根据k的乘积为-1即可判断．

解答 解：（1）设直线L的解析式为y=kx+b，
由直线L：与x轴、y轴分别交于A（4，0）、B（0，2）两点，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
直线L的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）由动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，t秒运动了t个单位，
即AM=t．
①当0≤t＜4时，由线段的和差得OM=4-t，
△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式S=$\frac{1}{2}$OM•OC=$\frac{1}{2}$×4（4-t）=8-2t；
②当t＞4时，由线段的和差得OM=t-4，
△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式S=$\frac{1}{2}$OM•OC=$\frac{1}{2}$×4（t-4）=2t-8，
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{8-2t}&{（0≤t＜4）}\\{2t-8}&{（t＞4）}\end{array}\right.$；

（3）①t=6时，M（-2，0），设直线CM的解析式为y=k′x+b′
把C（0，4），M（-2，0）代入得到$\left\{\begin{array}{l}{b′=4}\\{-2k′+b′=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=2}\\{b′=4}\end{array}\right.$，
∴直线CM的解析式为y=2x+4．
②直线CM与直线L互相垂直．
∵-$\frac{1}{2}$×2=-1，
∴直线CM与直线L互相垂直．

点评 本题考查了一次函数的综合题，利用了待定系数法求解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，掌握两直线垂直的判定方法，属于中考常考题型．