Question

14．如图，边长为$\frac{5}{4}$的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的图象上，已知点B的坐标是$（{\frac{3}{4}，\frac{9}{4}}）$，则k的值为（　　）

• A． $\frac{27}{16}$
• B． $\frac{27}{8}$
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 如图，作DE⊥OA于E，BF⊥OA于F，证明△ADE≌△BAF，在RT△ABF中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图，作DE⊥OA于E，BF⊥OA于F，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵∠EAD+∠FAB=90°，∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠EAD=∠ABF，
在△ADE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠BFA=90°}\\{∠EAD=∠ABF}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF，
∴AF=ED，AE=BF，
∵B点坐标（$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{4}$），AB=$\frac{5}{4}$，
∴OF=$\frac{9}{4}$，AF=DE=$\sqrt{A{B}^{2}-F{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}-（\frac{3}{4}）^{2}}$=1．
∴OE=4，点D坐标（1，4），
∴k=4．
故选C．

点评 本题考查反比例函数的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是构造全等三角形，属于中考常考题型．