Question

17．如图1，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．
（1）设AC=2，
①求AB的长；
填空：设AB=x，则BC=2-x
∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，可列方程为$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，
解得方程的根为x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$，于是，AB的长为-1+$\sqrt{5}$．
②在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若m、n为正实数，t是关于x的方程x²+2mx=n²的一正实数根，
①求证：（t+m）²=m²+n²；
②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．

Answer 1

分析 （1）若点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，则$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，设AB=x，则BC=2-x代入求值即可．
（2）①利用勾股定理画出$\sqrt{5}$，再在长为$\sqrt{5}$的线段上截取长为1的线段，剩余部分就是$\sqrt{5}-1$．
②根据配方法解该方程的根即可，作图与①雷同．

解答 解：（1）①设AB=x，则BC=2-x
∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，
可列方程为：$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，
解得：x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$，
∴AB的长为：-1+$\sqrt{5}$；
故答案为：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BC}{AB}$，$\frac{x}{2}$=$\frac{2-x}{x}$，x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$，-1+$\sqrt{5}$；
②作图见下图1：

（2）①证明：解关于x的方程x²+2mx=n²：
x²+2mx+m²=m²+n²
（x+m）²═m²+n²，
∵t是关于x的方程x²+2mx=n²的一正实数根，
∴（t+m）²=m²+n²；
②作图见下图

点评 本题考查了：黄金分割、解一元一次方程、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点的内涵及其应用方法．