Question

9．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知C点坐标为（6，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积；
（3）连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于点D，以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由抛物线顶点为（4，1），可设出其顶点式y=a（x-4）²+1，将C点（6，0）代入其中即可求得a的值；
（2）设出P点坐标（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3），用含m的多项式来表示出△PAC面积，根据解极值问题即可得出△PAC的面积取最大值时P点的坐标，以及最大面积值；
（3）如图做好辅助线，借助于相似三角形的比例关系求出C到直线BD的距离，再与⊙C半径进行比较，即可得出结论．

解答 （1）解：∵抛物线的顶点为（4，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x-4）²+1．
∵抛物线经过点C（6，0），
∴0=a（6-4）²+1，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+1=-$\frac{1}{4}$x²+2x-3．
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+2x-3．
（2）解：如图1，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，

∵A（0，-3），C（6，0），
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3．
设P点坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3），
则Q点的坐标为（m，$\frac{1}{2}$m-3），
∴PQ=-$\frac{1}{4}$m²+2m-3-（$\frac{1}{2}$m-3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m）×6=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$，
∴当m=3时，△PAC的面积最大为$\frac{27}{4}$．
∵当m=3时，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3=$\frac{3}{4}$，
∴P点坐标为（3，$\frac{3}{4}$）．
综上：P点的位置是（3，$\frac{3}{4}$），△PAC的最大面积是$\frac{27}{4}$．
（3）判断直线BD与⊙C相离．
证明：令-$\frac{1}{4}$（x-4）²+1=0，解得x₁=2，x₂=6，
∴B点坐标（2，0）．
又∵抛物线交y轴于点A，
∴A点坐标为（0，-3），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
设⊙C与对称轴l相切于点F，则⊙C的半径CF=2，
作CE⊥BD于点E，如图2，则∠BEC=∠AOB=90°．

∵∠ABD=90°，
∴∠CBE=90°-∠ABO．
又∵∠BAO=90°-∠ABO，
∴∠BAO=∠CBE．
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{CE}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{CE}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{13}}$，
∴CE=$\frac{8}{\sqrt{13}}$＞2．
∴直线BD与⊙C相离．

点评 本题考查了二次函数的综合运用、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键：（1）利用顶点设出顶点式，再由点在抛物线上即可求出抛物线的解析式；（2）利用配方法解决极值问题；（3）利用相似三角形的性质，找到边与边的关系，求出CE后再与半径进行比较．