Question

13．如图，已知：△ABC与△A′B′C′中，AD、A′D′分别是BC、B′C′上的中线，CE、C′E′分别平分∠ACB，∠A′C′B′，∠ACB=∠A′C′B′，$\frac{CE}{{C}^{'}{E}^{'}}$=$\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$，求证：$\frac{AD}{{A}^{'}{D}^{'}}$=$\frac{CE}{{C}^{'}{E}^{'}}$．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义得到∠BCE=∠B′C′E′，于是推出△BCE∽△B′C′E′，得到∠B=∠B′，推出△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，由AD、A′D′分别是BC、B′C′上的中线，得到BD=$\frac{1}{2}$BC，B′D′=$\frac{1}{2}$B′C′，求得$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BD}{B′C′}$，推出△ABD∽△A′B′D′，得到$\frac{AD}{A′D′}=\frac{BD}{B′D′}$，通过等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵CE、C′E′分别平分∠ACB，∠A′C′B′，∠ACB=∠A′C′B′，
∴∠BCE=∠B′C′E′，
∵$\frac{CE}{{C}^{'}{E}^{'}}$=$\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$，
∴△BCE∽△B′C′E′，
∴∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，
∵AD、A′D′分别是BC、B′C′上的中线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC，B′D′=$\frac{1}{2}$B′C′，
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BD}{B′C′}$，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴$\frac{AD}{A′D′}=\frac{BD}{B′D′}$，
∴$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B′C′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，
∴$\frac{AD}{{A}^{'}{D}^{'}}$=$\frac{CE}{{C}^{'}{E}^{'}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．