Question

如图，ABCD为直角梯形（∠B=∠C=90°），且AB=BC，若在边BC上存在一点M，使得△AMD为等边三角形，则

CD

AB

的值为

 

．

Answer 1

考点：直角梯形,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：首先过点D作DH⊥AB于H，易得四边形DHBC是矩形，即可得DH=BC=AB，BH=DC，然后设CD=x，AB=BC=DH=y，CM=z，在Rt△CDM，Rt△ABM，Rt△ADH中，由勾股定理可得方程组：x²+z²=y²+（y-z）²，y²+（y-z）²=y²+（y-x）²，即可得x²=2y²-2yx，然后方程两边同除以y²，即可得方程（

x

y

）²+

2x

y

-2=0，解此方程即可求得

CD

AB

的值．

解答：解：过点D作DH⊥AB于H，
则∠DHA=90°，
∵∠B=∠C=90°
∴四边形DHBC是矩形，
∴DH=BC，BH=DC，
∵BC=AB，
∴DH=BC=AB，
设CD=x，AB=BC=DH=y，CM=z，
在Rt△CDM，Rt△ABM，Rt△ADH中，
DM²=CD²+CM²，①
AM²=AB²+BM²，②
AD²=AH²+DH²，③
当DM=AM=AD时，△AMD为等边三角形，
则CD²+CM²=AB²+BM²，
AB²+BM²=AH²+DH²，
即x²+z²=y²+（y-z）²④，
y²+（y-z）²=y²+（y-x）²⑤，
化简④得：x²=2y²-2yz，
化简⑤得：x=z，
∴x²=2y²-2yx，
即（

x

y

）²+

2x

y

-2=0，
解得：

x

y

=

3

-1，

x

y

=-

3

-1（舍去）．
故

CD

AB

的值为

3

-1．

点评：此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、等边三角形的性质以及方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是作出辅助线，利用勾股定理得方程组，化简求得（

x

y

）²+

2x

y

-2=0是解此题的关键．