Question

如图，在△ABC中，AC=AB=10，BC=12，圆O内切于△ABC，切点分别为D、E、F．
（1）求△ADE的周长；
（2）求内切圆的面积．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：（1）利用切线长定理以及相似三角形的判定与性质得出DE，的长，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出△ABC内切圆的半径，进而得出内切圆的面积．

解答：解：（1）连接AF，BO，CO，AO
∵AC=AB=10，BC=12，圆O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴AF⊥BC，AD=AE，
∴BF=CF=6，BD=BF=CF=CE=6，
∴AD=AE=4，
∵AD=AE，AB=AC，∠A=∠A，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DE

BC

=

4

10

=

2

5

，
∴DE=

2

5

×12=

24

5

，
∴△ADE的周长为：4+4+

24

5

=

64

5

；

（2）连接DO，AF，
由（1）得：AF=

AB2-BF2

=

102-62

=8，
设FO=r，则AO=8-r，
∴AD²+DO²=AO²，
∴r²+4²=（8-r）²，
解得：r=3，
∴内切圆的面积为：π×3²=9π．

点评：此题主要考查了三角形内心的性质以及切线长定理和相似三角形的性质和判定等知识，根据题意得出FO的长是解题关键．