Question

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．
（1）若M恰好是CD的中点，求△MDE三边之比；
（2）若AB=4，设MD=y，DE=x，试求y与x的函数关系式．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,正方形的性质

专题：计算题

分析：（1）设正方形ABCD的边长为2a，AE=t，则DE=2a-t，根据折叠的性质得EM=EA=t，在Rt△DEM中利用勾股定理得（2a-t）²+a²=t²，解得t=

5

4

a，
则DE=

3

4

a，所以DE：DM：EM=

3

4

a：a：

5

4

a=3：4：5；
（2）由AB=4，DE=x得到AE=4-x，再根据折叠的性质得EM=EA=4-x，在Rt△DEM中，利用勾股定理得x²+y²=（4-x）²，变形得y=

16-8x

=2

8-x

（0≤x≤4）．

解答：解：（1）设正方形ABCD的边长为2a，AE=t，则DE=2a-t，
∵正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，
∴EM=EA=t，
在Rt△DEM中，∵DE²+DM²=EM²，
∴（2a-t）²+a²=t²，解得t=

5

4

a，
∴DE=2a-

5a

4

=

3

4

a，
∴DE：DM：EM=

3

4

a：a：

5

4

a=3：4：5；
（2）∵AB=4，DE=x，
∴AE=4-x，
∵正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，
∴EM=EA=4-x，
在Rt△DEM中，∵DE²+DM²=EM²，
∴x²+y²=（4-x）²，
∴y=

16-8x

=2

8-x

（0≤x≤4）．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和正方形的性质．