Question

1．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）在图1中，将△ABD沿BC的方向平移，使点D移至点C的位置，得到△A′B′D′，且A′B′交AC于点E，猜想∠B′EC与∠A′之间的关系，并说明理由；
（2）在图2中，将△ABD沿AC的方向平移，使A′B′经过点D，得到△A′B′D′，求证：A′D′平分∠B′A′C．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质得到A′B′∥AB，∠A′=∠BAD，从而得到∠B′EC=∠BAC，然后根据AD平分∠BAC得到∠BAC=2∠BAD，从而得到∠B′EC=2∠A′；
（2）根据平移的性质得到A′B′∥AB，∠B′A′D′=∠BAD，进一步得到∠B′A′C=∠BAC，然后根据AD平分∠BAC得到∠BAC=2∠BAD，从而得到∠B′A′C═2∠B′A′D′．

解答 证：（1）∠B′EC=2∠A′，其理由是：
∵△A′B′D′是由△ABD平移而来，
∴A′B′∥AB，∠A′=∠BAD．
∴∠B′EC=∠BAC．                            
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD．            
∴∠B′EC=2∠A′．                         
      
（2）∵△A′B′D′是由△ABD平移而来，
∴A′B′∥AB，∠B′A′D′=∠BAD．
∴∠B′A′C=∠BAC．                         
∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD．            
∴∠B′A′C═2∠B′A′D′．                         
∴A′D′平分∠B′A′C．

点评 考查了平移的性质，解题的关键是了解平移前后对应点的连线平行且相等，难度不大．