Question

如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交
于点．

⑴试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；
⑵当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；
⑶若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．

Answer 1

⑴证明：在正方形中，无论点运动到上何处时，都有
= ∠=∠ = ∴△≌△
⑵△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，
过点Q作⊥于,⊥于，

则 =
==           ∴= 
由△ ∽△得       解得
∴时，△的面积是正方形面积的
⑶若△是等腰三角形，则有 =或=或=
①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知 =
此时△是等腰三角形
②当点与点重合时，点与点也重合，此时=, △是等腰三角形
③：如图，

设点在边上运动到时，有=
∵ ∥      ∴∠=∠
又∵∠=∠ ∠=∠
∴∠=∠  ∴ ==
∵=   =  =4  ∴
即当时，△是等腰三角形.

（1）两边一角 AQ="AQ" ，AB=AD=4，∠DAQ=∠BAQ=45度所以两个三角形全等。
（2）做QE垂直于AD，△DQE相似于△DPA，△ADQ面积=ADQE/2，正方形面积=ADAB，△ ADQ的面积是正方形面积的1/6，则QE=AB/3=4/3，△AQE是等腰直角三角形，则AQ=QE=4/3，DQ=AD-AQ=8/3，△DQE相似△DPA中， DQ/AD=QE/AP，带入数据得：8/3 /4=" 4/3" /AP，故AP=2，因为AB="4" 则P点正好运动到AB的中点
（3）假设△ADQ恰好为等腰三角形：:P在 ABC上运动首先当AD=QD=4时 Q与C点刚好重合所以P运动到C点△ADQ为等腰三角形；当P运动到B点时，AQ="QD" △ADQ为等腰直角三角形；当AD=AQ=4时，△ADQ与△CPQ相似，则PC=CQ=AC-AQ= -4，则P运动到距离C点 -4时，△ADQ为等腰三角形