Question

如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角扳的一边交于点．另一边交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，求的值．

Answer 1

（1）见解析
（2）成立．
（3）．

（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，得∠DEF=∠GEB，再有ED=BE，即证得Rt△FED≌Rt△GEB，则EF=EG；
（2）过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，由∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，得∠IEF=∠GEH，即可证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则EF=EG；
（3）过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，∠MEN=90°，则EM∥AB，EN∥AD，即得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例可得，，即得，从而可得=，再证得△GME∽△FNE即可得到结果。