Question

16．如图，AB是半圆O的直径，C、D、E是半圆的四等分点，CH⊥AB于H，连接BD、
EC相交于F点，连接AC、EH，下列结论：
①CE=2CH；②∠ACH=∠CEH；③∠CFD=2∠ACH，
其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． 只有①②
• C． 只有①③
• D． 只有③

Answer 1

分析 连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图，由于C、D、E是半圆的四等分点，根据垂径定理得到OD⊥CE，CE=2CG，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=45°，根据圆周角定理得∠BCE=∠ABC，再证明四边形CHOG为正方形，则CH=CG，所以CE=2CH；利用等角的余角相等得∠ACH=∠ABC，而∠CEH所对的弧大于AC弧，则∠CEH＞∠ABC，所以∠ACH＜∠CEH；利用CE∥AB得到∠CFD=∠ABD，而∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，于是有∠CFD=2∠ACH．

解答 解：连结OC、BC、OD，OD交CE于G，如图，
∵C、D、E是半圆的四等分点，
∴OD⊥CE，∠AOC=∠COD=45°，∠BCE=∠ABC，
∴CE=2CG，CE∥AB
∵CH⊥AB，
∴四边形CHOG为正方形，
∴CH=CG，
∴CE=2CH，所以①正确；
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠ABC，
而∠CEH所对的弧大于AC弧，
∴∠CEH＞∠ABC，
∴∠ACH＜∠CEH，所以②错误；
∵CE∥AB，
∴∠CFD=∠ABD，
∵弧AC=弧CD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴∠ABD=2∠ABC=2∠ACH，
∴∠CFD=2∠ACH，所以③正确．
故选C．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆心角、弧、弦的关系．