Question

11．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD=2，AB=BC，AD=1，动点M、N分别在AB边和BC的延长线运动，而且AM=CN，联结AC交MN于E，MH⊥AC于H，则EH=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 过点M作BC的平行线交AC于点F，由于AB=BC，MF∥BC，得到AM=FM，因为MH⊥AC，H是AF的中点，再证△MFE≌△NCE，得到FE=EC，所以E是FC的中点，
所以EH=$\frac{1}{2}$AC，即可解答．

解答 解：过点M作BC的平行线交AC于点F，

∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵MF∥BC，
∴∠AFM=∠ACB，
∴∠AFM=∠BAC，
∴AM=FM，
∵MH⊥AC，
∴H是AF的中点，
∵AM=CN，
∴FM=CN，
∵MF∥BC，
∴∠FME=∠N，
在△MFE和△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FME=∠N}\\{∠MEF=∠NEC}\\{MF=CF}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△NCE，
∴FE=EC，
∴E是FC的中点，
∴HE=HF+EF=$\frac{1}{2}$AF+$+\frac{1}{2}$FC=$\frac{1}{2}$（AF+FC）=$\frac{1}{2}$AC，
在Rt△ADC中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，
∴HE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作辅助线，过点M作BC的平行线交AC于点F，得到H是AF的中点，E是FC的中点．