Question

11．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连结OE、AC，已知∠POE=2∠CAB，∠P=∠E．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，又∠POE=2∠CAB，则∠COD=∠EOD，根据等腰三角形的性质得∠ODC=∠ODE=90°，即CE⊥AB；
（2）由CE⊥AB，∠P=∠E，得到∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，得到∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

解答 （1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∵∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
又∵OC=OE，
∴∠ODC=∠ODE=90°，
即CE⊥AB；

（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∵∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；

点评 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．