Question

16．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=$\sqrt{3}$，CE=1．则弧BD的长是$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$．

Answer 1

分析 连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．

解答 解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=$\sqrt{3}$，CE=1，
∴AE²+CE²=AC²，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，
∴∠COE=60°，
∴$\frac{CE}{OC}$=sin∠COE，即$\frac{1}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵AE⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{BC}$=$\frac{60π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$．
故答案是：$\frac{2\sqrt{3}π}{9}$．

点评 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．