Question

20．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD和高BE的交点，则BH和AC的大小关系如何？并说明理由．猜想：若∠ABC=135°，其他条件不变，则BH和AC的大小关系将发生什么变化？

Answer 1

分析 （1）根据同角和等角的余角相等，可以证得到：∠HBD=∠DAC，利用ASA证明△HBD≌△CAD即可解决问题．
（2）方法类似（1）．

解答 解：（1）图1中，结论BH=AC，理由如下：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠ADC，∠BEC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-45°=45°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴DA=DB，
∵∠HBD+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠HBD=∠DAC，
在△HBD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBD=∠DAC}\\{BD=AC}\\{∠BDH=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△HBD≌△CAD，
∴BH=AC．
（2）图2中，结论不变：BH=AC，理由如下：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠ADC，∠BEC=90°，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=180°-∠ABC=45
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-45°=45°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴DA=DB，
∵∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∵∠EBC=∠NBD，
∴∠BDH=∠CAD
在△HBD和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBD=∠DAC}\\{BD=AC}\\{∠BDH=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△HBD≌△CAD，
∴BH=AC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、同角和等角的余角相等，寻找全等三角形是解题的关键．