Question

10．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在△ABC外，且∠BDC=45°，AE⊥BD于E．
（1）探究BD与AE之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）点F与点D关于直线BC对称，连接BF，AF，DF，探究BC与AF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用45度角构造等腰直角三角形△BDN，再证明四边形AEMN是矩形得到AE=MN=$\frac{1}{2}$BD即可．
（2）如图2只要证明B、F、C在以A为圆心的圆上即可以．

解答 解：（1）结论：BD=2AE，理由如下：
作BN⊥DC于N，NM⊥BD垂足为M．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=$\sqrt{2}$AB，
∵∠BND=90°，∠D=45°，
∴∠NBD=90°-∠D=45°，
∴∠NBD=∠D=45°，∠BND=90°，
∴$BD=\sqrt{2}$BN，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BN}=\sqrt{2}$，
∵∠ABC=∠NBD=45°，
∴∠ABN=∠CBD，
∴△CBD∽△ABN，
∴∠D=∠ANB=45°，
∵∠BMN=90°，∠MBN=45°，
∴∠BNM=90°-∠NBM=45°，
∴∠ANM=∠ANB+∠BNM=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEM=∠NME=∠ANM=90°，
∴四边形AEMN是矩形，
∴MN=AE，
∵∵∠NBD=∠D=∠BNM=∠MND=45°，
∴MN=BM=MD，
∴BD=2AE．
（2）结论：BC=$\sqrt{2}$AF，理由如下：
连接CF，∵D、F关于BC对称，
∴∠BFC=∠BDC=45°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC=2∠BFC，
∴B、F、C在以A为圆心的圆上，
∴AF=AB=AC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴$BC=\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AF．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，利用45度角添加辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键．