题目内容
13．在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图1，在锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，请用a、c、∠B表示b2．
经过同学们的思考后，
甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点A，作AD⊥BC于点D，如图2，大家认同；
乙同学说要想得到b2要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；
丙同学说那就要先求出AD=c•sinB，BD=c•cosB；（用含c，∠B的三角函数表示）
丁同学顺着他们的思路，求出b2=AD2+DC2=a2+c2-2ac•cosB（其中sin2α+cos2α=1）；请利用丁同学的结论解决如下问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=60°，AB=4，AD=5．
求AC的长（补全图形，直接写出结果即可）．
分析 根据三角函数的定义得到sinB=$\frac{AD}{AB}$，cosB=$\frac{BD}{AB}$，于是得到结论；根据题意得到代数式，化简即可；如图3所示，延长BC，AD交于E，解直角三角形即可得到结论．
解答 解：∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，cosB=$\frac{BD}{AB}$，
∴AD=AB•sinB=c•sinB，BD=AB•cosB=c•cosB，
CD=BC-BD=a-c•cosB，
则出b2=AD2+DC2═（c•sinB）2+（a-c•cosB）2
=c2sin2B+a2+c2cos2B+2ac•cosB
=c2（sin2B+cos2B）+a2-2ac•cosB
=a2+c2-2ac•cosB．
如图3所示，延长BC，AD交于E，
∵∠B=90°，∠BAD=60°，AB=4，
∴AE=2AB=8，∠E=30°，
∵AD=5，
∴DE=3，
∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴CE=2$\sqrt{3}$，
∴AC2=CE2+AE2-2CE•AEcos30°=12+64-2×$2\sqrt{3}$×8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=28，
∴AC=2$\sqrt{7}$．
故答案是：c•sinB，c•cosB；a2+c2-2ac•cosB．
点评 本题考查了解直角三角形，余弦定理，正确的理解题意是解题的关键．
练习册系列答案
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8．
剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一．下面是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断（ ）
剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一．下面是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断（ ）| A． | 是轴对称图形但不是中心对称图形 | |
| B． | 是中心对称图形但不是轴对称图形 | |
| C． | 既是轴对称图形也是中心对称图形 | |
| D． | 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 |
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