数学活动课上.老师提出这样一个问题:如果AB=BC.∠ABC=60°.∠APC=30°.连接PB.那么PA.PB.PC之间会有怎样的等量关系呢?经过思考后.部分同学进行了如下的交流:小蕾:我将图形进行了特殊化.让点P在BA延长线上.得到了一个猜想:PA2+PC2=PB2．小东:我假设点P在∠ABC的内部.根据题目条件.这个图形具有“共端点等线段的特� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果AB=BC，∠ABC=60°，∠APC=30°，连接PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？经过思考后，部分同学进行了如下的交流：
小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想：PA²+PC²=PB²．
小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB后得到△P′CB，并且可推出△PBP′，△PCP′分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法．
这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：
（1）如图2，点P在∠ABC的内部，
①PA=4，PC=$2\sqrt{3}$，PB=2$\sqrt{7}$．
②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．
（2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明．

分析（1）根据结论代入即可填写；
（2）根据△ABP≌△CBP′得出PA=P′C，∠A=∠BCP′，即可得出PA、PB、PC之间的数量关系；
（3）当点P在CB的延长线上时，得出PA²+PB²=PC²．

解答解：（1）①PB=$\sqrt{P{A}^{2}+P{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$2\sqrt{7}$．
故答案为：$2\sqrt{7}$；
②PA²+PC²=PB²，
证明：作∠PBP′=∠ABC=60°，且使BP′=BP，连接P′C、P′P，如图1：

∵∠ABC=PBP′
∴∠ABP=∠CBP′，
∵AB=CB，
在△ABP与△CBP′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠CBP'}\\{BP=BP'}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP′，
∴PA=P′C，∠A=∠BCP′，
在四边形ABCP中，
∵∠ABC=60°，∠APC=30°，
∴∠A+∠BCP=270°，
∴∠BCP′+∠BCP=270°，
∴∠PCP′=360°-（∠BCP′+∠BCP）=90°，
∵△PBP′是等边三角形，
∴PP′=PB，
在Rt△PCP′中，P'C²+PC²=P'P²，
∴PA²+PC²=PB²；
（2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例：
如图2，当点P在CB的延长线上时，

结论为PA²+PB²=PC²．