Question

10．某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：

上市时间x天	4	10	36
市场价y元	90	51	90

（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：
①y=ax+b（a≠0）；  ②y=a（x-h）²+k（ a≠0）；  ③y=$\frac{a}{x}$（a≠0）．
你可选择的函数的序号是②．
（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？

Answer 1

分析 （1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．
（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可．

解答 解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时，
则$\left\{\begin{array}{l}{90=4a+b}\\{51=10a+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6.5}\\{b=116}\end{array}\right.$．
∴y=-6.5x+116，
∵-6.5×36+116=-118≠90，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=-6.5x+116；
②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x-h）²+k（ a≠0）时，
则$\left\{\begin{array}{l}{90={a（4-h）}^{2}+k}\\{51={a（10-h）}^{2}+k}\\{90={a（36-h）}^{2}+k}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{h=20}\\{k=26}\end{array}\right.$
∴y=$\frac{1}{4}$（x-20）²+26，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=$\frac{1}{4}$（x-20）²+26．
③4×90=360，10×51=510，36×90=3240，
∵360≠510≠3240，
∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=$\frac{a}{x}$（a≠0）．
∴选择的函数的序号是②．

（2）∵y=$\frac{1}{4}$（x-20）²+26，
∴当x=20时，y有最小值26，
∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．
答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．

点评 此题注意考查了二次函数的应用，要熟练掌握，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．