Question

12．如图，已知正方形A₁B₁C₁D₁的面积为1，把它的各边延长一倍得到新的正方形A₂B₂C₂D₂，再将正方形A₂B₂C₂D₂各边长延长一倍得到正方形A₃B₃C₃D₃，以此下去…，则正方形A₉B₉C₉D₉的周长是2500．

Answer 1

分析 由条件可得A₁B₂和A₁A₂，在Rt△A₁A₂B₂中，利用勾股定理可求A₂B₂，同理可求得A₃B₃，从而可找出规律，可求得答案．

解答 解：
由题意可知A₁B₁=1，
∴A₁B₂=A₂D₁=2，
∴A₁A₂=1，
在Rt△A₁A₂B₂中，由勾股定理可得A₂B₂=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同理A₃B₃=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=5=（$\sqrt{5}$）²，A₄B₄=（$\sqrt{5}$）³，
∴A₉B₉=（$\sqrt{5}$）⁸=625，
∴正方形A₉B₉C₉D₉的周长是2500，
故答案为：2500．

点评 本题主要考查勾股定理及正方形周长的计算，正确的找出规律是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．