题目内容
15．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F．（1）求抛物线所对应函数的表达式；
（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；
（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA-HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由OA=1，tan∠ACB=2可以得到点C坐标，再利用旋转的性质得出F点坐标，通过待定系数法就可以求出抛物线的表达式了；
（2）若以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，由于两个三角形都为直角三角形，则还需一个角相等，从图上位置可以判断只有一种可能是∠DOM=∠DEO，利用对应边的比可以求出DM的长，从而得到点M坐标，代入反比例函数表达式就可以得出结果；
（3）求出矩形OABC面积就得出了以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积，求出平行四边形的高代入二次函数解析式中，可以得到点P的坐标，结合平行四边形的性质就能得出Q点的坐标了；
（4）要使得HA-HC的值最大，根据三角形的任意两边之差小于第三边可知当点H、A、C在同一直线上时，HA-HC的值最大，先求出直线AC的解析式，代入对称轴x=$\frac{1}{2}$求出y的值，即为点H的坐标．
解答 解：（1）∵矩形OABC，
∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，
∵tan∠ACB=2，
∴$\frac{AB}{BC}$=2
∴$\frac{OC}{AO}$=2，则OC=2，
∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，
∴OF=2，则有A（-1，0）C（0，2）F（2，0）
∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴函数表达式为y=-x2+x+2，
（2）存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO
∴此时有$\frac{DM}{DO}=\frac{DO}{DE}$
∴DM2=$\frac{D{O}^{2}}{DE}$=$\frac{{1}^{2}}{2}=\frac{1}{2}$
∴点M坐标为（$\frac{1}{2}$，1），
设经过点M的反比例函数表达式为y=$\frac{k}{x}$，把点M代入解得k=$\frac{1}{2}$
∴经过M点的反比例函数的表达式为y=$\frac{1}{2x}$，
（3）存在符合条件的点P，Q．
∵S矩形ABCD=2×1=2，
∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，
∵OF=2，
∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，
∵点P在抛物线上，设点P坐标为（m，2），
∴-m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1，
∴点P坐标为P1（0，2），P2（1，2）
∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴PQ∥OF，PQ=OF=2．
∴当点P坐标为P1（0，1）时，点Q的坐标分别为Q1（2，2），Q2（-2，2）；
当点P坐标为P2（1，2）时，点Q的坐标分别为Q3（3，2），Q4（-1，2）；
（4）若使得HA-HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A（-1，0），点C（0，2）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，
∵抛物线函数表达式为y=-x2+x+2，
∴对称轴为x=$\frac{1}{2}$
∴把x=$\frac{1}{2}$代入y=2x+2 解得y=3
∴点H的坐标为（$\frac{1}{2}$，3）
点评 本题考查了二次函数的性质、相似三角形性质、平行四边形性质及三角形三边的关系，在（2）中关键是要找到相等的角来确认对应边，（3）中的要点是利用已知面积得出平行四边形的高从而确定点坐标，（4）的关键是对三角形三边关系的熟悉及灵活运用．
鹅岭公司是重庆最早的私家园林，前身为礼圆，是国家级AAA旅游景区，圆内有一毗胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色，周末小嘉同学游览鹅岭公司，如图，在A点处观察到毗胜楼楼底C的仰角为12°，楼顶D的仰角为13°，测得水平距离AE=1200m，BC的坡度i=8：15
如图直角坐标系中，直线l：y=kx+k经过A、B两点；点B（0，3）；点P以每秒1个单位长度的从原点开始在y轴的正半轴向上匀速运动；设运动时间为t秒，直线y=t经过点P，且随P点的运动而运动．
如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转40°，得到平行四边形AB′C′D′，若点B′恰好落在BC边上，则∠DC′B′的度数为（ ）| A． | 60° | B． | 65° | C． | 70° | D． | 75° |
