Question

10．如图直角坐标系中，直线l：y=kx+k经过A、B两点；点B（0，3）；点P以每秒1个单位长度的从原点开始在y轴的正半轴向上匀速运动；设运动时间为t秒，直线y=t经过点P，且随P点的运动而运动．
（1）求k的值和点A坐标；
（2）当t=1.5秒时，直线y=t与直线l交于点M，反比例函数y=$\frac{n}{x}$经过点M，求反比例函数的解析式；
（3）若直线y=t与直线l的交点不在第二象限，求t的取值范围；
（4）点C（3，0）关于直线l的对称点在直线y=t上，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）把点B（0，3）代入y=kx+k，求出k的值，得出直线l的解析式，进而求出点A坐标；
（2）当t=1.5秒时，点P恰好是OB的中点，那么点M的纵坐标为1.5，将y=1.5代入直线l的解析式，求出M点坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（3）直线y=t与直线l的交点不在第二象限时，交点在第一或第三象限，根据A、B纵坐标的值即可求出t的取值范围；
（4）设点C（3，0）关于直线l的对称点为C′，根据轴对称的性质得出直线l垂直平分线段CC′，设直线CC′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+b，把C（3，0）代入，利用待定系数法求出直线CC′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，设C′（x，-$\frac{1}{3}$x+1），根据AC′=AC，列出关于x的方程，解方程求出x的值，得到C′坐标，进而求解即可．

解答 解：（1）∵直线l：y=kx+k经过点B（0，3），
∴k=3，
∴直线l的解析式为y=3x+3，
令y=0，则3x+3=0，解得x=-1，
∴点A坐标为（-1，0）；

（2）∵当t=1.5秒时，OP=1.5，
而B（0，3），
∴点P恰好是OB的中点；
又∵直线y=t与x轴平行，
∴点M的纵坐标为1.5；
∵点M又在直线l上，
∴3x+3=1.5，解得x=-0.5；
∴M（-0.5，1.5）．
∵反比例函数y=$\frac{n}{x}$经过点M，
∴n=-0.5×1.5=-$\frac{3}{4}$，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{4x}$；

（3）∵A（-1，0），B（0，3），
∴根据图象，可知直线y=t与直线l的交点不在第二象限时，t的取值范围是t≤0或t≥3；

（4）设点C（3，0）关于直线l的对称点为C′，
则直线l垂直平分线段CC′，
∵直线l的解析式为y=3x+3，
∴可设直线CC′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+b，
把C（3，0）代入，得-1+b=0，
解得b=1，
∴直线CC′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
设C′（x，-$\frac{1}{3}$x+1），
∵AC′=AC，A（-1，0），C（3，0），
∴（x+1）²+（-$\frac{1}{3}$x+1）²=4²，
解得x₁=-$\frac{21}{5}$，x₂=3（舍去），
∴x=-$\frac{21}{5}$，
∴C′（-$\frac{21}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∵点C′在直线y=t上，
∴t的值为$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，轴对称的性质，函数图象上点的坐标特征等知识，有一定难度．利用数形结合是解题的关键．