Question

已知：正方形ABCD中，BE=CF，AE、AF的垂线相交于点P，连接EF、CP．求证：CP⊥EF．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接BF，DE，EF，做PG⊥CB，PH⊥CD，证得△ABE≌△BCF，△PEG∽△FBC，△PFH∽△EDC，进一步推出△PGC∽△FCE，进一步证得结论即可．

解答：解：连接BF，DE，EF，做PG⊥CB，PH⊥CD，

在△ABE和△BCF中，

AB=BC ∠ABE=∠BCF=90° BE=CF

，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠FBC=∠BAE，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，即AE⊥BF，
∵EP⊥AE，
∴EP∥BF，
∵PG⊥CB，CF⊥CB，
∴△PEG∽△FBC，
设BE=X=CF，CE=DF=Y
PG：X=（Y-CG）：（X+Y）  ①
同理得
△PFH∽△EDC，
（Y-EG）：Y=（X-PG）：（X+Y）  ②
由①②得
PG：CG=Y：X，
∵∠PGC=∠DCB，
∴△PGC∽△FCE，
∴∠PCG=∠EFC，
∵∠FEC+∠EFC=90°，
∠FEC+∠PCG=90°，
∴CP⊥EF．

点评：此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，注意结合图形，理清思路，解决问题．