Question

在△ABC中，BC=10，S_△ABC=30，矩形DEFG内接于△ABC，设DE=x，S_矩形DEFG=y．求：
（1）y与x的函数关系式及定义域；
（2）当x为何值时，四边形DEFG为正方形，求正方形DEFG的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点K，根据在△ABC中，BC=10，S_△ABC=30可得出AG的长，由DE=x，S_矩形DEFG=y可知DG=

y

x

，再根据DG∥BC可得出△ADG∽△ABC，由此可得出结论；
（2）根据（1）中y与x的关系式得出DG的长，由正方形的边长相等即可得出结论．

解答：解（1）点A作AH⊥BC于点H，交DG于点K，
∵△ABC中BC=10，S_△ABC=30，
∴30=

1

2

×10×AH，
解得AH=6．
∵DE=x，S_矩形DEFG=y，
∴DG=

y

x

，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

AK

AH

=

DG

BC

，即

AK

6

=

y x

10

，
解得AK=

3y

5x

，
∴KH=6-

3y

5x

，
∴x=6-

3y

5x

，整理得y=10x-

5

3

x²（0＜x＜6）；

（2）由（1）知y=10x-

5

3

x²=x[10-

5

3

x]，
∵矩形DEFG的边长DE=x，
∴边DE的邻边DG=10-

5

3

x
∵当矩形DEFG为正方形时，x=10-

5

3

x，
解得x=

15

4

，
∴当x=

15

4

时，四边形DEFG为正方形，S_{正方形DEFG}=x²=（

15

4

）²=

225

16

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．