如图1.将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中.点A.C分别在x.y轴的正半轴.点B(4.2).将矩形OABC翻折.使得点C落在线段OA上.翻折后点C的对应点为P.折痕所在直线分别交直线BC.直线OA于点D.E过点P作OA的垂线交折痕所在直线于点Q.当点P在线段OA上运动时.设点Q的坐标为(x.y)．(1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围,(2)如图2.M.N分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，点A、C分别在x、y轴的正半轴，点B（4，2），将矩形OABC翻折，使得点C落在线段OA上，翻折后点C的对应点为P，折痕所在直线分别交直线BC、直线OA于点D、E过点P作OA的垂线交折痕所在直线于点Q，当点P在线段OA（不含端点O、A）上运动时，设点Q的坐标为（x，y）．
（1）求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）如图2，M、N分别是边OA、AB的中点，R是线段MN上的动点，设四边形ORBQ的面积为S，当x为何值时，S取得最小值，并求出该最小值．

分析（1）连接CQ，PQ交BD于点F，由折叠的性质得出CQ=PQ，由勾股定理得出x²+（y-2）²=y²，即可得出结果；
（2）连接OB、MB，由三角形中位线定理得出MN∥OB，求出S_△OBR=S_△OBM=$\frac{1}{2}$OM×AB=2，设直线OB与直线PQ相交于点G（x，$\frac{x}{2}$），求出S_△OBQ=S_△OGQ+S_△BGQ=$\frac{1}{2}$x²-x+2，得出S是x的二次函数，即可得出结果．

解答解：（1）连接CQ，PQ交BD于点F，如图1所示：
由折叠的性质得：CQ=PQ，
∵B（4，2），Q（x，y），
∴在Rt△CFQ中，CF=x，QF=y-2，CQ=y，
∴x²+（y-2）²=y²，
∴y=$\frac{1}{4}$x²+1，
∵当点P在线段OA（不含端点O、A）上运动，
∴自变量x的取值范围为：0＜x＜4；
（2）连接OB、MB，如图2所示：
∵M、N分别是边OA、AB的中点，
∴MN∥OB，
∴S_△OBR=S_△OBM=$\frac{1}{2}$OM×AB=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
设直线OB与直线PQ相交于点G（x，$\frac{x}{2}$），
∴S_△OBQ=S_△OGQ+S_△BGQ=$\frac{1}{2}$QG•OA=$\frac{1}{2}$（y-$\frac{x}{2}$）×4=2（$\frac{1}{4}$x²+1-$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$x²-x+2，
∴S=S_△OBR+S_△OBQ=$\frac{1}{2}$x²-x+2+2=$\frac{1}{2}$x²-x+4=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{7}{2}$（0＜x＜4），
∴当x=1时，S的最小值=$\frac{7}{2}$．