Question

2．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值（　　）

• A． 5
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 4.75
• D． 4.8

Answer 1

分析 设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形，FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，FC+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值，最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BC•AC÷AB=4.8．

解答 解：线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，
如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，

∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，
且S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•CA=$\frac{1}{2}$CD•AB，
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=4.8，即PQ的最小值为4.8，
故选：D．

点评 此题考查了切线的性质，垂线段最短，圆周角定理，以及直角三角形面积的求法，其中根据题意得：当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD为最小值是解本题的关键．