Question

如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内．

（1）如图1，写出点B的坐标（

 

）；
（2）如图2，若过点C的直线CD交AB于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，则点D的坐标（

 

）；
（3）如图3，将（2）中的线段CD向下平移，得到C′D′，使C′D′平分长方形OABC的面积，则此时点D′的坐标是（

 

）．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积,坐标与图形变化-平移

专题：

分析：（1）根据矩形的对边相等可得BC=OA，AB=OC，然后写出点B的坐标即可；
（2）先求出长方形OABC的周长，然后求出被分成两个部分的长度，判断出点D一定在AB上，再求出BD的长度即可得解；
（3）先用待定系数法求出直线CD的解析式，根据线段CD向下平移，得到C′D′，设处直线C′D′的解析式，再求出矩形OABC的中心坐标，代入直线C′D′的解析式即可得出结论．

解答：解：（1）∵A（3，0），C（0，5），
∴OA=3，OC=5，
∵四边形OABC是长方形，
∴BC=OA=3，AB=OC=5，
∴点B的坐标为（3，5）．
故答案为（3，5）；

（2）长方形OABC的周长为：2（3+5）=16，
∵CD把长方形OABC的周长分为3：1两部分，
∴被分成的两部分的长分别为16×

3

1+3

=12，16×

1

1+3

=4，
①C→B→D长为4，点D一定在AB上，
∴BD=4-3=1，AD=5-BD=5-1=4，
∴点D的坐标为（3，4），
②C→B→A→O→D长为12时，点D在OC上，OD=1，不符合题意，
所以，点D的坐标为（3，4）．
故答案为（3，4）；

（3）设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵C（0，5），D（3，4），
∴

b=5 3k+b=4

，解得

k=- 1 3 b=5

，
∴直线CD的解析式为y=-

1

3

x+5，
∵直线C′D′由直线CD平移而成，
∴设直线C′D′的解析式为y=-

1

3

x+5-a，
∵A（3，0），C（0，5），
∴矩形OABC的中心坐标为（

3

2

，

5

2

），
∵C′D′平分长方形OABC的面积，
∴直线C′D′过矩形OABC的中心，
∴

5

2

=-

1

3

×

3

2

+5-a，解得a=2，
∴D′（3，2）．
故答案为：（3，2）．

点评：本题考查的是坐标与图形性质，熟知矩形的性质与一次函数的性质是解答此题的关键．