Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E、F，连接AD和DF．求证：
（1）△ADC∽△AFD；
（2）以A，O，D，E为顶点的四边形是菱形．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ADF=90°=∠C，由弦切角定理得出∠CDA=∠AFD，即可得出结论；
（2）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形．

解答 证明：（1）∵点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E、F，
∴AF为⊙O的直径，
∴∠ADF=90°=∠C，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴∠CDA=∠AFD，
∴△ADC∽△AFD；
（2）连接OD、OE、ED．如图所示：
∵BC与⊙O相切于一点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°=∠C，
∴OD∥AC
∵∠B=30°，
∴∠A=∠DOB=60°，
∴AE∥OD，
∵OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=AO=0D，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形AODE是菱形．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明四边形AODE是平行四边形是解决问题（2）的关键．